Mathematik für Maschinenbauer

1.22 Komplexe FunktionenDurch einen Koeffizientenvergleich erhält man nun:a 0 = p(z 1 ) − b 0 z 1 =⇒ p(z 1 ) = a 0 + b 0 z 1a 1 = b 0 − b 1 z 1 =⇒ b 0 = a 1 + b 1 z 1.a n−1 = b n−2 − b n−1 z 1 =⇒ b n−2 = a n−1 + b n−1 z 1a n = b n−1 =⇒ b n−1 = a n−1Diese rekursive Berechnung führt man bequem (und rechnereffizient) mit demHorner-Schema durch:a n a n−1 a n−z · · · a 1 a 0+ z 1 b n−1 z 1 b 1 z 1 b 0❄z 1 · b ✒ ❄n−1 b ✒ n−2 · · · b❄ ✒0 p(z 1 )Beispiel 1.22.2 p(z) = z 4 − 1 = (z − i)q(z). Nun wird q(z) mit dem Horner-Schema bestimmt:1 0 0 0 −1+ i −1 −i 1i · 1 i −1 −i 0Also gilt: q(z) = z 3 + iz 2 − z − i und p(i) = 0.1.22.3 Potenzreihensin und cos können über die Euler’sche Formel durch die e-Funktion ausgedrücktwerden und haben daher auch Reihendarstellungen:cos(x) = 1 2 (eix + e −ix ) = Re(e ix ) =sin(x) = 1 2i (eix − e −ix ) = Im(e ix ) =∞∑j=0∞∑j=0(−1) j(2j)! x2j(−1) j(2j + 1)! x2j+1Die Reihen konvergieren auch, wenn man x ∈ R durch z ∈ C ersetzt. So erhältman Fortsetzungen von cos und sin zu Funktionencos, sin : C → C.Die Hyperbelfunktionen stehen dann zu den trigonometrischen Funktionen infolgender Beziehung:cosh(x) = cos(ix),sinh(x) = −i sin(ix).169