Mathematik für Maschinenbauer

1.11 Grundlagen der DifferenzialrechnungBeispiel 1.11.8 Weitere Funktionen und ihre zugehörigen Ableitungen:y = 7x 2 + x 6 y ′ = 14x + 6x 5y = 1 x 3 y ′ = − 3 x 4 (x ≠ 0)y = x e xy = tan(x) y ′ =y ′ = (1 + x) e xy = cot(x) y ′ = − 1sin 2 (x)1cos 2 (x) = 1 + tan2 (x)y = x n y ′ = nx n−1 für alle n ∈ Z (x ≠ 0, wenn n < 0)Obige Regeln sind nicht anwendbar auf zusammengesetzte Funktionen wie z.B.y = sin(x 2 ). In solchen Fällen muss die Kettenregel angewandt werden:Satz 1.11.6 Ist f ◦ g definiert, so gilt( ) ′(x) f ◦ g = f ′ (z) · g ′ (x)} {{ } } {{ }äuß. Abl. inn. Abl.wobei z = g(x).Verwendet man die Notation y = f(z), z = g(x), so erhält man als einprägsamereFormel:Beispiel 1.11.9(a) y = sin(x 2 ) mit y ′ = cos(x 2 ) · 2xHier: f(z) = sin z, g(x) = x 2(b) y = √ 2x + 1 mit y ′ = 1 √ 2x+1dydx = dy dzdz dx .Hier haben wir verwendet: (√ x ) ′ =(x12) ′ =12 x 1 2 −1 = 12 √ x .Die Formel für die Ableitung der Wurzel ist ein Spezialfall des folgenden allgemeinenResultats:Satz 1.11.7 Es sei f : D(f) → B(f) umkehrbar, d.h. f −1 : B(f) → D(f)existiert. Dann gilt für die Ableitung der Umkehrfunktion(f−1 ) ′ (x) =1f ′ (y) = 1f ′ (f −1 (x))in allen Stellen, an denen der Nenner nicht Null wird.mit x = f(y)Beweis. Wir geben keinen Beweis für Differenzierbarkeit, verifizieren aber dieFormel mittels Kettenregel:f(f −1 (x)) = x =⇒ f ′ (f −1 (x))(f −1 ) ′ (x) = ddx x = 1 95