Mathematik für Maschinenbauer

1.19 Uneigentliche IntegraleDenn für ε > 0 folgt mit der Substitution x = sin(s), dx = cos(s) ds:∫1−ε0Vergleichstests:(i)(ii)∫ ∞amit∫ b0+arcsin(1−ε)∫1√ dx = 11 − x 2 cos(s)0cos(s)ds = arcsin(1 − ε) − 0ε→0−−→ π 2 .f(x) dx konvergiert, wenn es eine Konstante K ≥ 0 und α > 1 gibt|f(x)| ≤ K 1x α für 0 ≤ a ≤ x < ∞.g(x) dx konvergiert, wenn es eine Konstante K ≥ 0 und 0 ≤ α < 1gibt mitBeispiel 1.19.3 1.2.∫ ∞1sin(x)x∫ ∞1|g(x)| ≤ K 1x α für 0 < x ≤ b.cos(x)x 2dx existiert, denn=⇒∫ c1∫ ∞1sin(x)xsin(x)xdx existiert, da cos(x)x 2 ≤ 1 · 1x 2dx = − 1 x cos(x) ∣ ∣∣∣c=1∫ c−1(cos(1) − cos(c)cdx = cos(1) −∫ ∞1cos(x)x 2Die Differenz existiert, da das Integral über cos(x)x 2cos(x)x 2) ∫ c−dx.1dxcos(x)x 2gilt.dxnach 1. existiert.Ein besonders wichtiges Beispiel eines uneigentlichen Integrals ist die Darstellungder Gammafunktion:Γ(x) =∫ ∞0e −t t x−1 dt für x > 0Da hier bezüglich beider Integrationsgrenzen uneigentliche Integrale vorliegen,untersuchen wir die Fälle getrennt auf Konvergenz:Sei x > 0. Setze α := −x + 1 wenn x < 1, sonst α = 0. Also gilt 0 ≤ α < 1.151