Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische AnalysisBemerkung 1.8.2 Es gilt kein Assoziativgesetz, d.h. es gibt ⃗a, ⃗ b,⃗c mit:(⃗a × ⃗ b) × ⃗c ≠ ⃗a × ( ⃗ b × ⃗c)Beispiel 1.8.4 Wähle ⃗a, ⃗ b mit (⃗a × ⃗ b) × ⃗ b ≠ ⃗0. Setze ⃗c = ⃗a + ⃗ b. Dann gilt:⃗a × ( ⃗ b × ⃗c) = ⃗a × ( ⃗ b × (⃗a + ⃗ b))= ⃗a × ( ⃗ b × ⃗a) + ⃗a × ( ⃗ b × ⃗ b)} {{ }=0= −⃗a × (⃗a × ⃗ b)= (⃗a × ⃗ b) × ⃗a(⃗a × ⃗ b) × ⃗c = (⃗a × ⃗ b) × ⃗a + (⃗a × ⃗ b) × ⃗ bEs gibt also eine Differenz (⃗a × ⃗ b) × ⃗c − ⃗a × ( ⃗ b × ⃗c) = (⃗a × ⃗ b) × ⃗ b, welche nachVoraussetzung nicht mit dem Vektor ⃗0 übereinstimmt.Konkreter kann man z.B. ⃗a = ⃗e x und ⃗ b = ⃗e y wählen.Zur Berechnung des Kreuzproduktes in Komponenten bezüglich eines kartesischen/rechtwinkligenKoordinatensystems (Rechtssystem) hat man also paarweiseorthogonale Einheitsvektoren, d.h. Vektoren ⃗e x , ⃗e y und ⃗e z mit ⃗e x × ⃗e y =⃗e z , ⃗e y × ⃗e z = ⃗e x und ⃗e z × ⃗e x = ⃗e y .Betrachtet man die Indizes, so sieht man eine zyklische Vertauschung wie inder folgenden Skizze dargestellt:z✟✙x ✟❍❍❥y✻Es verbleibt die Frage, wie für Vektoren ⃗a = a x ⃗e x + a y ⃗e y + a z ⃗e z und ⃗ b = b x ⃗e x +b y ⃗e y +b z ⃗e z die entsprechenden Komponenten von ⃗c := ⃗a× ⃗ b = c x ⃗e x +c y ⃗e y +c z ⃗e zaussehen. Durch Einsetzen und Ausrechnen erhält man:⃗c =a x b x · ⃗e x × ⃗e x + a x b y · ⃗e x × ⃗e y + a x b z · ⃗e x × ⃗e z+ a y b x · ⃗e y × ⃗e x + a y b y · ⃗e y × ⃗e y + a y b z · ⃗e y × ⃗e z+ a z b x · ⃗e z × ⃗e x + a z b y · ⃗e z × ⃗e y + a z b z · ⃗e z × ⃗e z= (a y b z − a z b y ) · ⃗e x+ (a z b x − a x b z ) · ⃗e y+ (a x b y − a y b x ) · ⃗e zAlso hat man für die Darstellung von c = a × b in Koordinatenvektoren⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎤c x a x b x a y b z − a z b y⎣ c y⎦ = ⎣ a y⎦ × ⎣ b y⎦ = ⎣ a z b x − a x b z⎦c z a z b z a x b y − a y b x70