Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische AnalysisDementsprechend definiert man auch cosh und sinh für komplexes Argumentund erhält konvergente Reihendarstellungen mit Entwicklungspunkt z 0 = 0 infolgender allgemeiner Form:f(z) =∞∑a k z k .k=0Solche Reihen heißen Potenzreihen. Man lässt dabei auch Entwicklungspunktez 0 ∈ C zu, die verschieden von 0 sein können. Die allgemeine Form einerPotenzreihe lautet in diesem Fallf(z) =∞∑a k (z − z 0 ) k (1.40)k=0f(z) ist dann eine durch eine Potenzreihe um den Entwicklungspunkt z 0 dargestellteFunktion. Die Potenzreihe konvergiert immer für z = z 0 . Unter welchenBedingungen an die Koeffizienten a k konvergiert die Reihe nicht nur in z = z 0 ?Hierauf geben das Quotienten- und das Wurzelkriterium für Reihen Auskunft.Diese gelten auch für Reihen über C statt über R. Wir erinnern in diesemZusammenhang an Abschnitt 1.6 Unendliche Reihen und Abschnitt 1.17.1 Potenzreihen,dort im Zusammenhang mit den Taylorreihen.Anwendung des Quotientenkriteriums:Sei z ≠ z 0 und es gelte a k ≠ 0 (für alle k). Betrachte die Quotientenq k =a k+1 (z − z 0 ) k+1 ∣ ∣ ∣∣∣ ∣ a k (z − z 0 ) k =a k+1 ∣∣∣∣ · |z − z 0 |a kFalls q := lim q k > 1 ist, divergiert die Reihe.Falls lim q k < 1 ist, konvergiert die Reihe.Hieraus folgt: Wenn∣1R = lima k+1 ∣∣∣k→∞∣ < +∞,a kdann konvergiert (1.40) für |z − z 0 | < R und divergiert für |z − z 0 | > R.Entsprechende Überlegungen stellt man mit dem Wurzelkriterium an.Satz 1.22.1 Zu (a k ) ∞ k=0⊂ C existiert genau ein 0 ≤ R ≤ +∞, so dass (1.40)für alle z ∈ C mit |z − z 0 | < R konvergiert und für alle |z − z 0 | > R divergiert.R heißt Konvergenzradius der Potenzreihe. Es giltR −1 = 1 ∣R = lima k+1 ∣∣∣ √kk→∞∣ = lim |ak |,a k k→∞falls die Grenzwerte existieren. Ist der Grenzwert 0, so setzt man R = ∞.170