Mathematik für Maschinenbauer

1.11 Grundlagen der Differenzialrechnungyy 1y 0x 1αx 0xBeispiel 1.11.11. Lineare Funktionen sind auf ganz R differenzierbar:f(x) = ax + b =⇒ f(x 1) − f(x 0 )x 1 − x 0= a =⇒ f ′ (x 0 ) = a für alle x 0 ∈ RDie Ableitung ist an jeder Stelle gleich groß – nämlich a. Damit ist dieAbleitungsfunktion f ′ (x) eine konstante Funktion.2. Die Funktion x ↦→ x 2 ist differenzierbar mit f ′ (x) = 2 x, denn:f(x 1 ) − f(x 0 )x 1 − x 0= x2 1 − x2 0x 1 − x 0= (x 1 − x 0 )(x 1 + x 0 )x 1 − x 0= x 1 + x 0x 1 →x 0−−−−→ 2x03. Jedes Monom ist differenzierbar:f(x) = x n =⇒ f ′ (x) = nx n−1 für n = 1, 2, 3, . . .(folgt aus Binomialgleichungen/Polynomdivision)4. sin ′ (x) = cos(x) und cos ′ (x) = − sin(x), denn mit einer der Folgerungen91