Mathematik für Maschinenbauer

1.17 Die Taylorformel1.17.4 Anwendung II: Konvergenz von IterationsverfahrenUm eine nichtlineare Gleichung zu lösen, z.B. eine Nullstelle einer Funktionf(x) zu bestimmen, wendet man oft iterative Methoden der Formwähle: x 0 ∈ R n ;berechne: x i+1 := Φ(x i ), i = 0, 1, 2, · · · , (1.26)an. Als wichtigstes Beispiel haben wir schon im Abschnitt 1.13.2 das Newtonverfahrenx i+1 := x i − f(x i)f ′ (x i ) , f ′ (x i ) ≠ 0,zur Bestimmung einer Nullstelle von f kennen gelernt. Es entspricht also demIterationsverfahren (1.26) mitΦ(x) = x − f(x)f ′ (x)(1.27)Wir wollen jetzt mit Hilfe der Taylorformel die Konvergenz des Newtonverfahrensuntersuchen. Es gilt folgenderSatz 1.17.4 Die Iterationsfunktion Φ sei p + 1 mal stetig differenzierbar:Φ ∈ C p+1 (R) oder Φ ∈ C p+1 ([a, b]).Dann ist das Verfahren (1.26) mindestens linear konvergent 12 , fallsDas Verfahren ist von mindestens p-ter Ordnung, falls|Φ ′ (¯x)| < 1 . (1.28)Φ (k) (¯x) = 0 für k = 1, 2, · · · , p − 1. (1.29)Der Beweis dieses Satzes benutzt die Taylorformel. Wir wollen diesen Satzbenutzen, um das folgende Lemma zu beweisenLemma 1.17.5x ∗ sei eine einfache Nullstelle der Funktion f(x), d.h. f ′ (x ∗ ) ≠ 0.Das Newton-Verfahren konvergiere zu einem gegebenen Startwert x 0 gegen dieseNullstelle x ∗ . Dann konvergiert das Newton-Verfahren quadratisch (im Sinnevon (1.12), d.h. es giltmit einer geeigneten Konstante K.Beweis. Übung.|x i+1 − x ∗ | ≤ K |x i − x ∗ | 212 p ist die Konvergenzordnung des Verfahrens wenn |Φ k+1 (x 0) − ¯x| ≤ K|Φ k (x 0) − ¯x| p 139