Mathematik für Maschinenbauer

1.13 Anwendungen der Differenzialrechnung1.2.sin(x)limx→0 e x − 1 = cos(0)e 0 = 1limx→1ln(x)x 2 − 1 = 1/x2x ∣ = 1x=12 .Bisher werden Unbestimmtheiten der Form “ 0 0” behandelt. Die Verallgemeinerungenauf “ ∞ ∞ ”-Unbestimmtheiten und für x 0 = ±∞ werden zusammengefasstzur allgemeinen Regel von de l’Hospital:Satz 1.13.2 Es seien f, g : ]a, b[→ R differenzierbar. Ferner sei g ′ (x) ≠ 0 fürx ∈ ]a, b[. Es gelte(i)oderlim f(x) = lim g(x) = 0x↑b x↑b(ii)lim g(x) = ∞x↑b( oder = −∞).Dann giltf(x)limx↑b g(x) = lim f ′ (x)x↑b g ′ (x) ,sofern der rechts stehende Grenzwert existiert (oder uneigentliche Konvergenzgegen ±∞ vorliegt).Entsprechendes gilt für x ↓ a.Beispiel 1.13.21.2.3.ln(x)limx→∞ x b = limx→∞ln(x)lim x · ln(x) = limx→0 x→0 1/x = limx→01/x= limb xb−1 x→∞1b x b = 0.1/x−1/x 2 = limx→0(−x) = 0.1 − cos(x) sin(x)limx→0 x 2 = limx→0 2x= lim cos(x)= 1x→0 2 2 .Hier wurden die Regeln von de l’Hospital zweimal angewandt.101