Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische Analysis(1) Startintervall [a 0 , b 0 ] mit f(a 0 ) · f(b 0 ) < 0.(2) Setze i := 0.(3) Berechne den Intervallmittelpunkt m := 0.5 (a i + b i ).(4) Berechne fm := f(m).(5) Ist fm = 0 → STOP, m ist eine Nullstelle.(6) Ist f(a i ) · fm < 0,dannsetze a i+1 := a i , b i+1 := m,sonstsetze a i+1 := m, b i+1 := b i .(7) Ist |b i+1 − a i+1 | < ε → (9).(8) Setze i := i + 1. Gehe nach (3).(9) Setze ˜x := 0.5(a i+1 + b i+1 ).Für den Näherungswert ˜x gilt |˜x − ¯x| < 0.5 |b i+1 − a i+1 | für jedes im Algorithmuskonstruierte Intervall [a i+1 , b i+1 ]. Das bedeutet, dass der maximale Fehlerbeim Bisektionsverfahren linear gegen Null konvergiert mit der Konvergenzrate0.5. In der folgenden Zeichnung wird dieses Verfahren graphisch demonstriert.PSfrag replacementsf(x)ax 0 x 2x 1bxx 3Abbildung 1.8: Das Verfahren der Bisektion.Beispiel 1.5.3 Wir wollen die kleinste positive Lösung der Gleichungf(x) := cos(x) cosh(x) + 1 = 0 (1.13)mit der Bisektion angenähert bestimmen. Als Startintervall verwenden wirI = [0, 3], für welches f(0) = 2, f(3) ≈ −9 und damit f(0) f(3) < 0 gilt. DieErgebnisse sind unten auszugsweise tabellarisch zusammengestellt. Wir habenmit 16 wesentlichen Dezimalstellen gerechnet und die Iteration abgebrochen,wenn die Intervallbreite kleiner als 2.0 · 10 −9 oder der Funktionswert im Mittelpunktdem Betrage nach kleiner als 1.0 · 10 −9 war. Das erste Kriterium istnach 31 Schritten erfüllt, da 3 · 2 −31 ≈ 1.4 · 10 −9 ist.44