Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische AnalysisZwei Vektoren ⃗a ≠ ⃗0 und ⃗ b ≠ ⃗0 schließen einen Winkel ϕ ein:⃗ b⃗aϕEs gilt: ϕ = ∡(⃗a, ⃗ b) = −∡( ⃗ b,⃗a).⃗a und ⃗ b heißen kollinear oder parallel wenn ∡(⃗a, ⃗ b) = 0 gilt. Dann ist der eineVektor ein Vielfaches des anderen: ⃗a = λ ⃗ b, ⃗ b = 1 λ⃗a mit λ ∈ R \ {0}.⃗a und ⃗ b heißen senkrecht bzw. orthogonal, wenn ϕ = ∡(⃗a, ⃗ b) = ± π 2Fall gilt cos(ϕ) = 0.ist. In diesemSkalarproduktBeim Einsatz einer Kraft zum Verschieben einer Masse wird Arbeit geleistet.Diese wird als Skalarprodukt berechnet.Wir definieren das Skalarprodukt zweier Vektoren ⃗a, ⃗ b (geometrisch) als diereelle Zahl⃗a ·⃗b = a b cos(ϕ) mit ϕ = ∡(⃗a, ⃗ b).Es gilt: ⃗a ·⃗b = 0 wenn ⃗a = ⃗0 oder ⃗ b = ⃗0.Mit Hilfe des Skalarproduktes drückt man die Länge der senkrechten Projektioneines Vektors auf den anderen aus. Einige Situationen hierzu sind:1. a = b = 1: ⃗a ·⃗b = ⃗ b · ⃗a = cos ϕDie geometrische Situation ist in der folgenden Abbildung oben linksdargestellt.2. b = | ⃗ b| = 1, λ > 1: ⃗a ·⃗b = a cos ϕ , (λ⃗a) ·⃗b = λ a cos ϕ .Dies findet man entsprechend unten links abgebildet.3. b = 1 : (⃗a 1 + ⃗a 2 ) ·⃗b = ⃗a 1 ·⃗b + ⃗a 2 ·⃗bDer geometrische Vergleich beider Gleichungsseiten ist im rechten Teilder Abbildung nachzuvollziehen.62