Mathematik für Maschinenbauer

1.4 Konvergenz reeller Zahlenfolgen1. Beispiel einer nicht konvergenten, also divergenten Folge:a n = (−1) n = ±1.Zum Beweis treffen wir die Annahme, es gäbe einen Grenzwert,d.h. lim a n = g.Dann existiert zu 0 < ε < 1 ein n ε mit |a n − g| < ε für n ≥ n εAlso folgt |1 − g| < ε, | − 1 − g| < ε. Damit ergibt sich dann:2 = |1 − (−1)| = |a 2n − g + g − a 2n+1 | ≤ |a 2n − g| + |a 2n+1 − g| < 2ε < 2für alle n ≥ n εDies bedeutet also 2 < 2, was ein Widerspruch ist. Daher war die Annahmefalsch. Es gibt keinen Grenzwert. Die Folge ist divergent.Insbesondere ist diese Folge unbestimmt divergent.2. Die Folge a n = n ist bestimmt divergent gegen +∞.Definition 1.4.2 Es sei t : N → N, t(k) = n k eine streng monoton wachsendeAbbildung und a : N → R, a(n) = a n eine Folge. Dann heißt die Folge(a(t(k))) = (a t(k) ) = (a nk ) eine Teilfolge von (a n ).Beispiel 1.4.5 Es sei a n = (−1) n . Dann sind z.B. (a 2n ) = (1, 1, . . .) bzw.(a 2n+1 ) = (−1, −1, . . .) Teilfolgen von (a n ).Satz 1.4.3 Es gelten die folgenden Aussagen:1. Wenn die Ausgangsfolge (a n ) gegen den Grenzwert g konvergiert, dannsind auch alle Teilfolgen (a nk ) konvergent mit dem Grenzwert g.2. Wenn alle Teilfolgen (a nk ) einer Folge (a n ) gegen denselben Grenzwert gkonvergieren, dann ist auch (a n ) konvergent mit dem Grenzwert g.Eine Folge (a n ) heißt beschränkt, wenn es ein M ≥ 0 gibt mit:|a n | ≤ M für alle n ∈ N.Beispiel 1.4.6 Die Folge a n = 1 n ist beschränkt, denn es gilt |a n| ≤ 1.1.4.2 Umgang und Rechnen mit FolgenSatz 1.4.4 (Sandwich-Kriterium) (a n ) und (b n ) seien konvergente Folgenmit demselben Grenzwert g,c n sei irgendeine weitere Folge mitlim a n = g = lim b n.n→∞ n→∞a n ≤ c n ≤ b n für alle n ∈ N.Dann ist (c n ) konvergent mit g = limn→∞ c n.35