Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische AnalysisM heißt Teilmenge von N oder gleichwertig N Obermenge von M, wenn gilt:x ∈ M =⇒ x ∈ N.Man schreibt dann M ⊆ N oder seltener N ⊇ M.Man kann die Gleichheit von Mengen auch so ausdrücken:M = N ⇐⇒ M ⊆ N und N ⊆ MM heißt echte Teilmenge von N (in Zeichen: M ⊂ N), wenn M als Teilmengevon N nicht identisch mit N ist (in Zeichen: M ⊆ N aber M ≠ N).Beispielsweise gilt für die schon genannten Zahlmengen:N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ CMengenoperationen und IntervalleMittels Mengenoperationen erzeugt man aus vorhandenen Mengen neue Mengen.Die folgenden Operationen werden am häufigsten verwendet:Vereinigungsmenge: M ∪ N = {x | x ∈ M oder x ∈ N}Durchschnittsmenge: M ∩ N = {x | x ∈ M und x ∈ N}Differenzmenge: M \ N = {x | x ∈ M und x /∈ N}In der folgenden Abbildung sind die resultierenden Mengen schraffiert.MMMNNNVereinigungsmenge Schnittmenge DifferenzmengeIntervalle sind zusammenhängende Stücke der reellen Zahlengeraden. Die Intervallgrenzensind reelle Zahlen oder ±∞. Insbesondere sind ±∞ keine reellenZahlen.Sind a < b reelle Zahlen bzw. ±∞, dann verwendet man folgende Schreibweisen:(a, b)= {x ∈ R | a < x < b} offenes Intervall[a, b]= {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} abgeschlossenes Intervall(a, b]= {x ∈ R | a < x ≤ b}halboffene Intervalle[a, b)= {x ∈ R | a ≤ x < b}R + = (0, +∞)R + = [0, +∞).Man beachte, dass ±∞ immer als offener Rand notiert wird.Als alternative Schreibweise werden statt runder Klammern auch eckige Klammernnach außen verwendet: (a, b) =]a, b[, [a, b) = [a, b[ sowie (a, b] =]a, b].24