Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische Analysis• Körperaxiome• Anordnungsaxiome• Archimedisches Axiom• VollständigkeitsaxiomHierdurch wird R eindeutig festgelegt (bis auf Isomorphie) und von allen anderenRechen-/Zahlenbereichen unterschieden. In R gelten komfortable, intuitiveund leistungsfähige Grundregeln für das arithmetische Rechnen und das Rechnenmit Grenzwerten.Hinweis. In der Literatur wird meist das sogenannte Supremumsaxiom als Vollständigkeitsaxiomangenommen. Die hier genannte Formulierung des Vollständigkeitsaxiomswird dann zu einem Satz.Bemerkung 1.5.1 Ist (a n ) monoton wachsend und beschränkt mit einer oberenSchranke M, d.h. gilta n ≤ a n+1 ≤ M ∀n ∈ N,dann gilt für den nach dem Vollständigkeitsaxiom existierenden Grenzwertg = limn→∞ a n die Abschätzunga n ≤ g ≤ M.Beispiel 1.5.21. Für (I n ) als Folge der Inhalte regelmäßiger n-Ecke gilt:2 ≤ I n ≤ 4 für n ≥ 4Damit folgt für den Grenzwert die Einschließungπ := lim I n ∈ [2, 4]2. Die wichtige Folge a n = ( 1 + 1 n) n ist beschränkt und monoton wachsend.Mit Hilfe des Vollständigkeitsaxioms folgt, dass der Grenzwert(e := lim 1 + 1 ) nn→∞ nexistiert. e heißt Eulersche Zahl und besitzt die nicht-periodische Dezimaldarstellunge = 2.71828182846 . . ..Auch diese Folge ist ein Beispiel einer Folge rationaler Zahlen mit irrationalemGrenzwert.42