Mathematik für Maschinenbauer

1.20 Komplexe Zahlend.h. man kann schreiben: i = √ −1. Man nennt i die imaginäre Einheit. 14Komplexe Zahlen z lassen sich dann schreiben alsz = x + iy mit x, y ∈ R.Der Realteil x = Re(z) und der Imaginärteil y = Im(z) sind eindeutig durch zbestimmt. Daher:z 1 = z 2 ⇐⇒ Re(z 1 ) = Re(z 2 ) und Im(z 1 ) = Im(z 2 ).Speziell gilt: Re(0) = 0 und Im(0) = 0.Zahlen der Form z = iy mit y ∈ R, d.h. Re(z) = 0, heißen imaginär.Die Menge der komplexen Zahlen wird mit C bezeichnet. Man fasst die Mengeder reellen Zahlen als Teilmenge auf:R = {z ∈ C | Im(z) = 0}Die Zahlenmengen haben folgende Teilmengenbeziehungen:N Z Q R CDie Rechenregeln für komplexe Zahlen bei Addition (Subtraktion) und Multiplikation(Division) sind dieselben wie in Q und R. Man hat nur zusätzlich dieRegel i 2 = −1 zu berücksichtigen.Es gelten in C die Körperaxiome. Dazu gehören u.a. die Regeln der Assoziativität,der Kommutativität und das Distributivgesetz.Addition: (x + iy) + (u + iv) = (x + u) + i(y + v)Subtraktion: (x + iy) − (u + iv) = (x − u) + i(y − v)Multiplikation:Beispiel 1.20.1(x + iy) · (u + iv) = (xu − yv) + i(xv + yu)1. (3 + i) + (2 − 2i) = 5 − i2. π + (1 + √ 2 i) = (π + 1) + √ 2 i3. (1 − i)(1 + i) = 1 2 − i 2 = 24. (3 + i)(−4 + 2i) = 3 · (−4) + 3 · 2i − 4i + i · 2i = −14 + 2i5. x 2 + 2x + 10 = (x + 1) 2 + 9 = (x + 1) 2 − (3i) 2Damit sind die Nullstellen bei x 1/2 = −1 ± 3i.Eine Operation auf C, die in den reellen Zahlen keine Entsprechung hat, istdie komplexe Konjugation z ↦→ ¯z mit ¯z = x − yi für z = x + iy. Man hat¯zz = (x − yi)(x + yi) = x 2 + y 2 > 0, wenn z ≠ 0.14 Manchmal wird auch der Buchstabe j für die imaginäre Einheit benutzt.153