Mathematik für Maschinenbauer

1.9 Stetige FunktionenDies ist die Determinante einer 3 × 3-Matrix. Dazu wird im nächsten Semestermehr erzählt.1.9 Stetige Funktionen1.9.1 GrenzwerteDefinition 1.9.1 Ist (a − x i ) eine beliebige Nullfolge, mit x i ≠ a, so giltlim x i = a.i→∞Ist weiter eine Funktion y = f(x) mit Definitionsbereich D(f) gegeben, undgilt für alle i ∈ N auch x i ∈ D(f), so kann der Folge (a − x i ) durch y i = f(x i )eine Folge (y i ) zugeordnet werden. Ist diese Folge (y i ) für jede Nullfolge (a−x i )konvergent mit dem Grenzwert c, so schreibt manlim f(x) = cx→aund versteht hierunter den Grenzwert einer Funktion im Gegensatz zu demeiner diskreten Zahlenfolge.Beispiel 1.9.1 Man bestimme den Grenzwertlimx→∞2x − 1√x 2 − 3 .Wegen x → ∞ genügt es, Werte x > 0 zu betrachten. Der direkte Grenzübergangwürde auf einen unbestimmten Ausdruck der Form ∞/∞ führen. Deshalbwird der Bruch mit 1/x erweitert. Damit gilty = f(x) = 2x − 1 √x 2 − 3 =2 − 1 x√1 − 3 x 2 für x > 0Die Funktionen 1/x und 3/x 2 streben für jede unbeschränkt wachsende Folge(x i ) gegen Null. Daher giltlimx→∞2x − 1√x 2 − 3 = 2.Beispiel 1.9.2 Man untersuche, ob der Grenzwert3x 2 − 7 √ xlimx→0 4x − 2x 3existiert. Gegebenenfalls bestimme man diesen Grenzwert. Führt man die Grenzwertbildungx → 0 direkt aus, so erhält man einen unbestimmten Ausdruck derForm 0/0. Deshalb wird der Bruch zunächst für x > 0 mit 1/ √ x erweitert.limx→03 √ x 3 − 74 √ x − 2 √ x 5 .Der Zähler dieses Quotienten strebt gegen −7, der Nenner jedoch gegen Null.Daher wächst der Quotient unbeschränkt. Es existiert kein endlicher Grenzwert.Eine Untersuchung mit x ≤ 0 ist damit überflüssig.73