Mathematik für Maschinenbauer

1.21 Die komplexe ExponentialfunktionBeispiel 1.20.9 1. z 2 + 1 = (z + i)(z − i). Dieses Beispiel zeigt, dass derFundamentalsatz nicht über R gilt.2. z n − 1 = (z − ξ 0 )(z − ξ 1 ) · · · (z − ξ n−1 ) (Einheitswurzeln!)Z.B. z 2 − 1 = (z − 1)(z ( + 1)bzw. z 3 − 1 = (z − 1) z + 1 √ ) (2 + i 323. z n = (z − 0) . . . (z − 0).z + 1 2 − i√ 324. z 2 + 2z + 1 = (z + 1) 2 mit der doppelten Nullstelle z = −1.5. z 4 + 4 = (z − 1 − i)(z − 1 + i)(z + 1 − i)(z + 1 + i).Nullstellen:).Im1−11Re−11.21 Die komplexe Exponentialfunktion1.21.1 Übertragung bekannter Begriffe nach CFür eine Folge komplexer Zahlen(z n ) n∈N ⊆ Cdefiniert man die Konvergenz wie im Reellen:Äquivalent hiermit ist:lim z n = z :⇔ lim |z n − z| = 0n→∞ n→∞lim Re(z n) = Re(z) undn→∞lim Im(z n) = Im(z)n→∞In dieser Form wird die Konvergenz komplexer Zahlenfolgen auf die Konvergenzzweier reeller Zahlenfolgen zurückgeführt.Beispiel 1.21.1((i) lim 1n→∞ n + i) 1= limn→∞ n + lim i = i.n→∞(ii) ( )i n nn∈N konvergiert gegen 0. 161