Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische AnalysisHier ist besonders die Gauß-Kronrod-Quadratur zu erwähnen: Ausgehend vongewissen n-Punkte-Gauß-Formeln ist es Kronrod gelungen, optimale 2n + 1-Punkte-Formeln durch Hinzufügen von n + 1 Punkten zu konstruieren:Ĩ 1 :=n∑i=1n+1∑w i f(x i ) −→ Ĩ2 := Ĩ1 + v j f(y j ). (1.39)j=1Die kombinierte Regel integriert Polynome bis zum Grad 3n + 1 exakt statt4n + 1 für eine unabhängige 2n + 1-Punkte-Formel. Einzelheiten zu diesenAlgorithmen und die Stützwerte und Koeffizienten für die Regelpaare mit n =7, 10, 15, 20, 25 und 30 kann man in der Literatur und den großen Software-Bibliotheken finden.Die eingebetteten Regel-Paare lassen sich ideal für die adaptive Quadraturbenutzen. Man folgt der Vorgehensweise aus Abschnitt 1.18.2, wobei die beidenQuadraturregeln Ĩ1 und Ĩ2 gerade das Gauß-Kronrod-Paar bilden.Beispiel 1.18.4 Wir definieren eine Funktionen mit stark unterschiedlicherVariation und einer Unstetigkeitsstelle:f(x) ={ sin(30 x) exp(3 x) falls x < 13π/605 exp(−(x − 13π/60)) falls x ≥ 13π/60Mit dieser Funktion wollen wir das IntegralI =∫ 30f(x) dx . = 4.56673516941143bestimmen, siehe Abb. 1.11.Zur Genauigkeitssteuerung wird bei der Kronrod-Quadratur die Differenz zwischenden beiden Regeln in jedem Teilintervall genommen. Beide Regeln sindin den NAG-Bibliotheken realisiert und können mit relativen und absolutenGenauigkeitsschranken gesteuert werden.Als relative und absolute Genauigkeitsschranke haben wir δ = 1.0·10 −9 gewählt.Die Kronrod-Regel-Kombination ergibt folgendes Ergebnis:Gauß-Kronrod Fehler Fehlerschätzung4.5667351695951 1.84 · 10 −10 1.32 · 10 −9Funktion und adaptive Intervallunterteilung für I werden in Abb. 1.11 wiedergegeben.Von den 29 Punkten, welche die adaptive Intervallunterteilung für I erzeugt,liegen 21 im Intervall [0.67, 0.7], einer kleinen Umgebung der Unstetigkeitsstelle¯x . = 0.6806784. Die Ergebnisse sind sehr zufriedenstellend. Die Fehlerschätzungist nur sehr wenig größer als der wirkliche Fehler.146