Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische Analysisy = x 3y = sin(x), y = cos(x)Welche formelmäßige Beschreibung gibt es für konvex/konkav? Ausgehend vonf : I → R, x 1 < x 2 in I, y 1 = f(x 1 ), y 2 = f(x 2 )suchen wir eine Beschreibung der Sehne zwischen (x 1 , y 1 ) und (x 2 , y 2 ):Die Punkte auf der x-Achse zwischen x 1 und x 2 lassen sich beschreiben durchx = λx 1 + (1 − λ)x 2 mit 0 ≤ λ ≤ 1.Die y-Koordinate des entsprechenden Punktes auf der Sehne istf konvex bedeutet daher in Formeln:y = λy 1 + (1 − λ)y 2 .f ( )λx 1 + (1 − λ)x 2 ≤ λ · y1 + (1 − λ) · y 2= λf(x 1 ) + (1 − λ)f(x 2 )Eine Funktion f heißt strikt konvex, wenn für alle x 1 ≠ x 2 und 0 < λ < 1 giltf ( λx 1 + (1 − λ)x 2)< λf(x1 ) + (1 − λ)f(x 2 )Satz 1.13.5 Sei f ∈ C 2 (I), I ⊆ R ein Intervall. Dann gelten:f konvex ⇔ f ′′ ≥ 0f strikt konvex ⇐ f ′′ > 0In analoger Weise erhält man Aussagen zu “konkav”. Dazu ist in den Formelndas Ungleichheitszeichen jeweils umzudrehen:f konkav ⇔ f ′′ ≤ 0f strikt konkav ⇐ f ′′ < 0Beispiel 1.13.9 x 2n (n ∈ N), e x , cosh(x) sind im gesamten Definitionsbereichstrikt konvex. ln(x), √ x sind im Definitionsbereich strikt konkav.Wendepunkte sind Punkte des Graphen, in denen ein Krümmungswechselstattfindet. Deren x-Koordinate ist daher charakterisiert durch f ′′ (x) = 0.108