Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische Analysis(i) Es bezeichnet die Reihe, d.h. die Folge der Partialsummen.(ii) Im Falle der Konvergenz bezeichnet es (zusätzlich) den Grenzwert.Satz 1.6.2 Die geometrische Reihe ∑ ∞k=0 gk = 1 + g + g 2 + · · · ist konvergent,wenn |g| < 1. Ihre Summe ist dann∞∑g k = 11 − g .k=0Beweis. Für die Teilsummen s n haben wir die geometrische Summenformels n = 1 + g + g 2 + · · · + g n = 1 − gn+11 − g .(g n+1 ) n∈N ist eine Nullfolge, wenn |g| < 1 (Satz über die geometrische Folge).Folglich konvergiert (s n ):lim s 1 − g n+1n = limn→∞ n→∞ 1 − g= 1 − 01 − g = 11 − g .Geometrische Anwendung:Gegeben ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a (und dem Flächeninhalt a 2 ).aWie groß ist der Gesamtinhalt F der schraffierten Flächen?F = 1 ( ) ( ) 2 1 1 2a +2 2 2 a + 1 ( ) 1 22 2 2 a + · · ·= 1 2 a2 ·(1 + 1 4 + 1 )4 2 + · · ·= 1 2 a2 ·∞∑( ) 1 k= 1 14 2 a2 ·1 − 1 4k=0= 1 2 a2 · 43 = 2 3 a246