Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische AnalysisFür x → x 0 ist das Restglied vernachlässigbar klein gegenüber dem Polynom:|R n (x)| ≤ const.|x − x 0 | n+1 für x nahe x 0 .Man schreibt 11 : R(x) = O ( |x − x 0 | n+1) .Beispiel 1.17.2 1. Es soll für f(x) = sin(x) die Taylorformel zu n = 5mit Entwicklungspunkt x 0 = 0 bestimmt werden:f(x) = sin(x)f ′ (x) = cos(x), f ′′ (x) = − sin(x), . . . f (6) (x) = − sin(x)f(0) = f (4) (0) = sin(0) = 0, f ′ (0) = f (5) (0) = cos(0) = 1f ′′ (0) = − sin(0) = 0, f ′′′ (0) = − cos(0) = −1sin(x) = 0 + x + 0 + −13! x3 + 0 + 1 5! x5 − 1 sin(z) · x6} {{ } } 6! {{ }Also erhält man:= T 5 (x) + R 5 (x)T 5 (x) = x − 1 3! x3 + 1 5! x5 = x − 1 6 x3 + 1120 x5R 5 (x) = 1 sin(z) · x66!Wenn nun |x| ≤ 1 2gilt, dann folgt mit |sin(x)| ≤ 1:|R 5 (x)| ≤ 1 ∣ 1 ∣ 6 1=6! 2 720 · 64 = 146080 ≤ 140000 = 2.5 · 10−5 .T 1(x)T 3(x)T 5(x)sin(x)1x−12. Die Taylorformel zu f(x) = e x mit x 0 = 0 lautet:T n (x) =n∑k=01k! xk mit R n (x) =1(n + 1)! ez · x n+1 .11 f = O(g) bedeutet inhaltlich, dass |f(x)/g(x)| für x nahe x 0 beschränkt ist.136