Mathematik für Maschinenbauer

1.18 Numerische Integrationgewünschte Resultat für das Interval [a, b]. Können wir die gewünschte Genauigkeitin einem der Teilintervalle nicht erreichen, so werden wir dieses Integralweiter aufteilen, um unsere Quadraturregel auf die kleiner werdenden Intervalleanzuwenden.Wenn wir eine zuverlässige Methode zur Abschätzung der Genauigkeit unserernumerischen Quadraturregel haben, dann stellt diese Vorgehensweise einesogenannte Black-Box-Methode zur adaptiven Quadratur dar.• Anschaulich gesprochen bedeutet die adaptive Quadratur das Folgende:In Teilintervallen, in denen der Integrand wenig variiert, reichen wenigePunkte aus, um genügende Genauigkeit zu erzielen.• Teilintervalle, in denen der Integrand stärker variiert, werden weiter aufgeteilt,bis die gewünschte Genauigkeit erzielt ist.• Diese Methode führt ohne Eingreifen des Benutzers automatisch zu dergewünschten Genauigkeit im gesamten Intervall [a, b].Eine zuverlässige Methode zur Abschätzung der Genauigkeit ist folgende:(0) Setze die Integralsumme Ĩ := 0.(1) Wende zwei Verfahren unterschiedlicher Genauigkeit Ĩ1 und Ĩ2 auf das∫ baf(x) dx an.(2) Teste, ob|Ĩ1 − Ĩ2| < ε(3) Halbiere das Intervall, wenn das nicht der Fall ist.Wenn die Genauigkeitsbedingung erfüllt ist, dann addiere den Integralwertzur Integralsumme Ĩ := Ĩ + Ĩ2.(4) Wende (1) bis (3) auf alle halbierten Intervalle an.(5) Wenn kein Intervall mehr halbiert werden muss, ist Ĩ die gefundene Näherungder Genauigkeit ε für I.Dass die gefundene Näherung wirklich die Bedingung |Ĩ − I| < ε erfüllt, kannmathematisch nicht bewiesen werden, wird aber in den allermeisten Fällenzutreffen. Solche Verfahren nennt man deshalb heuristisch. Das kommt ausdem Griechischen und heißt “ich finde”.Nimmt man für die zwei Verfahren Ĩ1 und Ĩ2 die Trapez- und die Simpson-Regel, dann bekommt man den Algorithmus aus Tab. 1.3.1.18.3 Gauß-QuadraturEine Idee von Gauß führt zu einer erheblichen Steigerung der Genauigkeit,bezogen auf die Anzahl der benötigten Funktionsauswertungen. Sie bestehtdarin, einen Ansatz aufzustellen, der sowohl die Integrationsgewichte als auchdie Stützstellen zur Konstruktion der Quadraturformel benutzt.Damit erreicht Gauß für n Stützstellen einen Genauigkeitsgrad (nach Def. 1.18.1)von 2n − 1, wo Trapez- und Simpsonregel nur n − 1 schaffen. Man kann zeigen,dass dies der maximal erreichbare Genauigkeitsgrad bei n Stützstellen ist.143