Mathematik für Maschinenbauer

1.10 Exponentialfunktion und Logarithmusliefert eine Nullstellennäherung von µ = 3.5 bzw. das Intervall [3.4, 3.6], in demein Vorzeichenwechsel von y stattfindet, was man leicht nachrechnen kann:y(3.4) ≈ 0.01,y(3.6) = −0.007.Eine Nullstellennäherung findet man dann mit einigen Schritten eines Iterationsverfahrensoder mit der Methode der Bisektion:y(3.513) = 0.0000.Das Massenverhältnis muss µ = 3.513 betragen.Beispiel 1.10.3 Wir betrachten noch einmal das Bisektionsverfahren zur Nullstellensuche:Finde ein x 0 ∈ [a, b] mit f(x 0 ) = 0, wenn f(a) < 0 < f(b) gilt.Wieviel Schritte n sind nötig um eine gewünschte Genauigkeit ε > 0 zu erreichen?Wir wissen bereits, dass zwischen der Schrittzahl n und der Intervallbreite b−afolgender Zusammenhang besteht:b n − a n ≤ 2 −n+1 · (b 1 − a 1 ) = 2 −n+1 · (b − a)Soll diese Differenz kleiner als ε sein, so erhält man eine Ungleichung, die mannach n umstellt:2 −n+1 · (b − a) ≤ ε =⇒ b − a ≤ 2 n−1ε=⇒ lb ( b − a) 1≤ n − 1 =⇒ n ≥εln(2) · ln ( b − a) + 1ε1.10.3 Die HyperbelfunktionenDefinition 1.10.7 Mit Hilfe der Exponentialfunktion werden die Hyperbelfunktionendefiniert:cosh(x) = ex + e −x, sinh(x) = ex − e −x,22tanh(x) = sinh(x)cosh(x) = ex − e −xe x + e −x , coth(x) = 1tanh(x) = ex + e −xe x − e −x .cosh : R → R, sinh : R → R, tanh : R → R und coth : R \ {x = 0} → R heißenHyperbelsinus, Hyperbelcosinus, Hyperbeltangens und Hyperbelcotangens.Durch Addieren bzw. Subtrahieren der Funktionen cosh x und sinh x ergibtsichcosh x + sinh x = e x , cosh x − sinh x = e −x .Multipliziert man jeweils die linken und rechten Seiten dieser beiden Gleichungenmiteinander, so findet man die der Gleichung sin 2 x + cos 2 x = 1 analogeBeziehungcosh 2 (x) − sinh 2 (x) = 1. (1.16)87