Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische Analysis1.9.2 Motivation und GrundlagenIm Abschnitt 1.5.3 haben wir unter gewissen einleuchtenden Voraussetzungenmit dem Verfahren der Bisektion eine Nullstelle ¯x einer Funktion f(x) langsam,aber sicher gefunden. Eine dieser Voraussetzungen war die Stetigkeit der untersuchtenFunktion, grob ausgedrückt: Die Funktion darf nicht über die x-Achsespringen. Funktionen, die nirgendwo springen, also keine solchen Sprungstellenhaben, nennt man stetig.Das Bisektionsverfahren schachtelte die Nullstelle ¯x in unendlich viele, kleinerwerdende Intervalle (a i , b i ):a 1 ≤ a 2 ≤ a 3 ≤ · · · ≤ ¯x ≤ · · · ≤ b 3 ≤ b 2 ≤ b 1Der folgende Satz sichert die Existenz der Nullstelle ¯x:Satz 1.9.2 (Intervallschachtelung) Seien (a n ) und (b n ) Folgen mit:(i) a n ≤ a n+1 ≤ b n+1 ≤ b n(ii) lim (b n − a n ) = 0n→∞Dann existiert der Grenzwert∀n ∈ Ng = limn→∞ a n = limn→∞ b n.Beweis. Der Satz folgt aus dem Vollständigkeitsaxiom.Es sei jetzt f(a 1 ) < 0 und damit f(b 1 ) > 0. Dann folgt aus Abschnitt 1.9.1:lim f(a k)k→∞} {{ }≤0= f(¯x) = limk→∞ f(b k)} {{ }≥0⇒ f(¯x) = 0Diese Erkenntnis führt zu dem neuen Begriff der Stetigkeit:Definition 1.9.3 Sei f : R → R. f heißt stetig, wenn für alle x ∈ D(f) undalle Folgen (x n ) ⊂ D(f) mit x = limn→∞ x n gilt:f(x) = limn→∞ f(x n)Das Bisektionsverfahren liefert für stetige Funktionen f eine Nullstelle ¯x. Allgemeinergilt:Satz 1.9.4 (Zwischenwertsatz) Sei f : R → R stetig mit [a, b] ⊆ D(f). Seiy 0 reell mit f(a) < y 0 < f(b). Dann existiert (mindestens) ein x 0 ∈ [a, b] mity 0 = f(x 0 ).Man sagt: x 0 ist eine y 0 -Stelle.Beweis. Wende obiges Verfahren auf die Funktion g(x) := f(x) − y 0 an.Da man dazu den Satz über die Intervallschachtelung benötigt, nutzt man auchhier das Vollständigkeitsaxioms aus.74