Mathematik für Maschinenbauer

1.1 Das Rechnen mit reellen ZahlenDies bedeutet, dass jede periodische Dezimalbruchentwicklung zu einem Bruchumgeschrieben werden kann.Auch über den reellen Zahlen sind nicht alle Gleichungen mit reellen Koeffizientenlösbar. Die Gleichung x 2 = −2 besitzt die formale Lösung √ −2. Dieseist aber nicht reell (vgl. auch Folgerung 1.1.2).Als Ausweg definiert man die imaginäre Einheit i := √ −1 und erweitert denZahlenbereich zu den komplexen Zahlen C. Jede komplexe Zahl hat die Formz = u + i · v mit u, v ∈ R und i = √ −1.Innerhalb der komplexen Zahlen besitzt nun jede polynomielle Gleichung mitkomplexen Koeffizienten komplexe Lösungen. Auf der anderen Seite gehen aberEigenschaften, die für reelle Zahlen gelten, verloren. Es gibt keine Anordnungder komplexen Zahlen mehr, d.h. man kann komplexe Zahlen nicht der Größenach vergleichen.Die komplexen Zahlen werden in der Gauß’schen Zahlenebene veranschaulicht:Gaußsche ZahlenebeneICPSfrag replacements32v1z = u + i v−3−2−100123u−1−2−31.1.2 Axiome und RechengesetzeDie Axiome für reelle Zahlen• sollen offensichtlich wahr sein,• alle bekannten Rechenregeln implizieren,• sollen das System der reellen Zahlen unter allen anderen denkbaren Zahlensysstemeneindeutig kennzeichnen.Das Rechnen mit reellen Zahlen beruht auf wenigen Grundgesetzen für dieAddition und die Multiplikation (woraus sich indirekt Subtraktion und Divisionergeben). Diese werden Körperaxiome genannt. Für beliebige relle Zahlen a, bund c müssen gelten:9