Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische AnalysisWir betrachten nun speziell die Geschwindigkeit: Ausgangspunkt ist ein Weg-Zeit-Gesetz s = s(t). Unser Ziel ist es die Durchschnittsgeschwindigkeit unddie Momentgeschwindigkeit anzugeben. Als Rechenweg erhalten wir:Durchschnittsgeschwindigkeit:Momentgeschwindigkeit:Zeitspanne: ∆t = t − t 0Strecke: ∆s = s(t) − s(t 0 )∆s∆t = s(t) − s(t 0 )t − t 0s(t) − s(t 0 )v 0 = limt→t0 t − t 0Für eine Funktion f : R → R, deren Definitionsbereich ein Intervall darstellt,heißt der Grenzwertf ′ f(x) − f(x 0 )(x 0 ) = limx→x 0 x − x 0– falls dieser existiert – die Ableitung von f bei x 0 ∈ D(f).f heißt differenzierbar, wenn f ′ (x 0 ) für alle x 0 ∈ D(f) existiert.Schreibweisen für die Ableitungf ′ (x 0 ) = dfdx (x 0) = ddx f(x 0) y=f(x)= dydx (x 0)Die Momentgeschwindigkeit eines Weg-Zeit-Gesetzes s(t) ist also die Ableitungs ′ (t 0 ) = limt→t0s(t) − s(t 0 )t − t 0.Ist die unabhängige Variable die Zeit t, so verwendet man auch oft die Punktschreibweise:ṡ = s ′ .Die geometrische Deutung der Ableitung als Tangentensteigung ist in Abschnitt1.4 schon angedeutet worden. Dies soll hier präzisiert werden.Mit y 0 = f(x 0 ) und y 1 = f(x 1 ) erhält man den Differenzenquotienten∆y∆x = y 1 − y 0x 1 − x 0als Sekantensteigung.Bildet man den Grenzwert für x 1 → x 0 , so erhält manf ′ (x 0 ) =y 1 − y 0lim = als Tangentensteigung.x 1 →x 0 x 1 − x 0Für den Schnittwinkel α der Tangente mit der x-Achse gilt: tan(α) = f ′ (x 0 ).Die Gleichung der Tangente durch den Punkt (x 0 , y 0 ) lautet:y = y 0 + f ′ (x 0 ) · (x − x 0 ).90