Mathematik für Maschinenbauer

1.9 Stetige Funktionensin( 1 x )xWenn die halbseitigen Grenzwerte bei a existieren und gleich sind, d.h. wenngiltlim f(x) = lim f(x),x↑a x↓adann nennt man diesen Grenzwert den Grenzwert von f bei a:lim f(x).x→ax≠aMan kann die Stetigkeit von f : R → R mit diesem Grenzwertbegriff auch soaussprechen:f(a) = lim f(x) für alle a ∈ D(f).x→ax≠aBeachte, dass a für die Grenzwertdefinitionen nicht in D(f) liegen muss.(Es sollte aber eine Folge (x n ) ⊂ D(f) geben, die gegen a konvergiert.)Dies ist nützlich bei der Betrachtung von (Definitions-)Lücken von f:Beispiel 1.9.9 f(x) = sin(x)x, x ≠ 01−2π−ππsin(x)x2πx79