Mathematik für Maschinenbauer

1.4 Konvergenz reeller Zahlenfolgenfür genügend großes n.Durch Anwendung dieser Rechenregeln und durch Vereinfachung von Ausdrückenist in einigen Fällen der Grenzwert berechenbar.Beispiel 1.4.8Mit1n 2(a)erweitern:a n = 3n2 + 2n + 1n 2 + 2n + 3a n = 3 + 2 n + 1 n 21 + 2 n + 3 n 2 n→∞−→ 3 + 0 + 01 + 0 + 0 = 3(b)a n = 4n3 − 66n 3 + 2n 2 = 4 − 6 n 36 + 2 n−→ 4 − 06 + 0 = 2 3(c) Allgemeina n = p 0 + p 1 n + · · · + p k n kg 0 + · · · + g k n kn→∞−→ p kg k(g k ≠ 0)1.4.3 Spezielle Folgen( ) 1 nDie Folge (2 −n ) = oder 122 , 1 4 , 1 8 , 116, . . . ist tatsächlich eine Nullfolge, dennallgemein gilt:Satz 1.4.7 (Satz über die geometrische Folge)Sei g reell mit |g| < 1. Dann giltlimn→∞ gn = 0.Für g = 1 ist g n konvergent, für g = −1 ist g n divergent.Ist |g| > 1, dann ist g n nicht konvergent.Beweis. Ist g = 0, dann ist das Ergebnis klar.Im Fall g > 0 benutzen wir die Bernoulli’sche Ungleichung:(1 + x) n ≥ 1 + nx wenn x ≥ −1.Wegen 0 < g < 1 ist x := 1 g− 1 > 0. Damit folgt:( ) 1 n⇒ = (1 + x) n ≥ 1 + nxgUnd weiter:0 < g n ≤ 1nx −→ 0 für n → ∞ 37