Mathematik für Maschinenbauer

1.20 Komplexe Zahlen2 Wurzeln gibt. Bevor wir hierauf eingehen, beobachten wir wie man in derPolardarstellung eine Wurzel findet:w = ρ ( cos(ψ) + i sin(ψ) ) (ρ > 0)z = n√ w = n√ ( ( ψ) ( ψ))ρ cos + i sinn nBeispiel 1.20.6d.h. z = r ( cos(ϕ) + i sin(ϕ) ) mit r = n√ ρ und ϕ = ψ n1. Zu −1 = 1 · ( cos(π) + i sin(π) ) erhält man als eine der Quadratwurzeln√ −1 =√1(cos(π2 ) + i sin( π 2 )) = i. Die weitere Wurzel ist −i.2. √ i = cos( π 4 ) + i sin( π 4 ) = 1 √2+ 1 √2i = 1 √2(1 + i).3. √ −2i = √ 2 ( cos( 3π 4 ) + i sin( 3π 4 )) = −1 + i.Was ist n√ 1? Zur Beantwortung dieser Frage bestimme man alle n-ten Wurzelnaus 1. Diese Wurzeln z heißen n-te Einheitswurzeln. Sie liegen alle auf demEinheitskreis und bilden ein regelmäßiges n-Eck, dessen eine Ecke bei 1 = 1+0iliegt.z n = 1 ⇔ ( r cos(ϕ) + ir sin(ϕ) ) n = 1⇔ r n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)) = 1⇔ r = 1 und n ϕ ∈ 2πZ⇔ r = 1 und ϕ = 2πknmit k ∈ Z( 2πk) ( 2πk)z n = 1 ⇔ z = cos + i sin = ξ knnDies gilt für alle k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}.Beispiel 1.20.7 Die 2-ten Einheitswurzeln sind: 1, −1Die 3-ten Einheitswurzeln sind: 1, − 1 √2 + i 32 , − 1 √2 − i 32ImImz31z21z22Rez33Rez32159