Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische Analysis1.2 BeweismethodenMathematische Lehrsätze stellen wahre Aussagen dar, für die ein Beweis vorhandenist. Der Beweis führt den Satz auf Axiome zurück, die als wahr angenommenwerden. Aussagen können wahr oder falsch sein. Eine andere Möglichkeitbesteht nicht.Hier ist ein Beispiel eines Satzes:Ist n eine gerade Zahl, dann ist n 2 auch eine gerade Zahl.Eine ganze Zahl n heißt bekanntlich gerade, wenn es eine ganze Zahl k gibtmit n = 2 · k. Man schreibt unter Verwendung logischer Kürzel:n gerade =⇒ ∃ k ∈ Z : n = 2 · k.Hier und im Folgenden bedeuten:SchreibweiseA ⇒ BA ⇔ B∃ x : E(x)∀x : E(x)BedeutungGilt A, dann auch B. (Wenn A gilt, dann auch B.)A gilt genau dann, wenn B gilt. (A ⇒ B und B ⇒ A.)Es gibt ein x mit der Eigenschaft E(x).Alle x haben die Eigenschaft E(x).¬A Negation der Aussage A.A ∧ B A und B.A ∨ B A oder B.Dieses Beispiel zeigt auch den typischen AufbauVoraussetzung =⇒ Behauptungeines Satzes.Um Sätze zu beweisen, verwendet man drei Beweisprinzipien: den direktenBeweis, den indirekten Beweis sowie die vollständige Induktion.1.2.1 Der direkte BeweisEin direkter Beweis wird mit einer wahren Aussage begonnen. Im Laufe derBeweisführung wird diese wahre Aussage genutzt, um durch logisch korrekteFolgerungen die Richtigkeit der Behauptung nachzuweisen.Der obige Satz soll direkt bewiesen werden:Satz 1.2.1 n gerade =⇒ n 2 gerade18