Mathematik für Maschinenbauer

1.5 Die Vollständigkeit der reellen Zahlena 1 = I 4 = 2a 2 = I 8 = 2 √ 2 ≈ 2.82 . . .a n = I 2 n+1 < I 2 n+2 = a n+1 für alle n ⇒ (a n ) monoton steigenda n ≤ 4 = Flächeninhalt des umschreibenden Quadrats.Erwartung: lim a n existiert und lim a n = π gibt den Flächeninhalt der Kreisscheibemit Radius 1n→∞ n→∞an.VollständigkeitsaxiomDiese Konvergenzerwartung wird erfüllt dank dem Vollständigkeitsaxiom.Dieses besagt:Jede beschränkte und monotone Folge ist konvergent,und ihr Grenzwert liegt in R.Das obige Beispiel und die folgende Zeichnung machen die Gültigkeit diesesAxioms plausibel.RgNIn den rationalen Zahlen Q gilt das Axiom nicht:Der Grenzwert einer Folge rationaler Zahlen kann irrational sein.In R gelten folgende Axiome:41