Mathematik für Maschinenbauer

1.17 Die TaylorformelDer Ansatz zur PBZ ist dann:3x 2 + 1(x − 1) (x 2 + 1) = Ax − 1 + Bx + Cx 2 + 1⇓∣ · (x − 1) (x 2 + 1)3x 2 + 1 = A(x 2 + 1) + (Bx + C)(x − 1)3x 2 + 0x + 1 = x 2 (A + B) + x (−B + C) + (A − C)A + B = 3−B + C = 0A − C = 1⇓=⇒ A = 2, B = 1 C = 1Damit bestimmt man schließlich die Stammfunktion wie folgt:∫3x 2 ∫+ 1x 3 − x 2 + x − 1 dx ==3x 2 + 1(x − 1)(x 2 + 1)∫ [2x − 1 + 1x 2 + 1 +x ]x 2 dx+ 1= 2 ln ( |x − 1| ) + arctan(x) + 1 2 ln(x2 + 1) + c.1.17 Die Taylorformel1.17.1 PotenzreihenEine Potenzreihe ist eine Reihe der Form∞∑ ( ) k.a k x−x0 Die Koeffizienten akbilden eine reelle Zahlenfolge. x 0 wird Entwicklungspunkt der Reihe genannt.Für jede konkrete Stelle x ∈ R stellt die Potenzreihe ∑ a k(x−x0) k eine Reihegemäß Abschnitt 1.6 dar und kann auf ihre Konvergenz untersucht werden. ImRahmen dieser Untersuchung ist x als Konstante aufzufassen.Jede Potenzreihe definiert eine Funktion x ↦→ ∑ a k(x − x0) k. Der Definitionsbereichbesteht aus allen x, für die die Reihe konvergent ist.Satz 1.17.1 Es seik=0∞∑ ( ) ka k x − x0 eine Potenzreihe. Dann gilt:k=0• Wenn der Grenzwert g := lim ∣ a ∣k+1 ∣∣ existiert, dann ist die Potenzreihek→∞ a∑ k( ) k ak x − x0 absolut konvergent für alle x ∈ R mit |x − x0 | < 1 =: δ.g√k• Wenn der Grenzwert g := lim |ak | existiert, dann ist die Potenzreihek→∞∑ ( ) k ak x − x0 absolut konvergent für alle x ∈ R mit |x − x0 | < 1 =: δ.g133