Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische AnalysisEine Begründung hierfür liefert eine passende Konvergenzbetrachtung.Wir setzen auch als bekannt voraus, dass ein Kreis mit Radius r > 0 denUmfang 2πr hat mit der Kreiszahlπ = 3.1415926 . . .Man erhält diese z.B. per Approximation durch die Länge einbeschriebenerregelmäßiger Vielecke (siehe auch Seite 41).Neben Längen spielen in der Geometrie Winkel eine entscheidende Rolle. Wasist ein Winkel? — Ein Winkel ist die Länge eines Bogens auf der Einheitskreislinie(Radius r = 1)!Genauer: Zwei Radien im Einheitskreis schließen einen Winkel ein; der Winkelist die Länge des ausgeschnittenen Bogens:← WinkelZwei wichtige spezielle Winkel sind der Vollwinkel 2 π = 6.2831 . . . und derrechte Winkel 1 4 · 2 π = π 2= 1.5707 . . ..Statt Winkel wie hier im Bogenmaß (”Radian”) anzugeben, verwendet man ausTradition häufig Grad ( ◦ ) als Winkelmaß. Dieses Maß wird analog zur Zeiteinheit’Stunde’ weiter unterteilt in Minuten ( ′ ) und Sekunden ( ′′ ). Es gilt 1 ◦ = 60 ′und 1 ′ = 60 ′′ . Die Umrechung von einem Winkel ϕ ◦ in Grad zum zugehörigenBogenmaß t und umgekehrt geschieht durch eine Dreisatzrechnung:t2 π = ϕ360 ⇐⇒ t = π180ϕ ⇐⇒ ϕ =180 πtVereinbarung: Winkelangaben ohne ◦ (und ′ bzw. ′′ ) sind immer im Bogenmaß(also gemessen als Länge des Bogens).1.7.2 sin, cos und deren UmkehrfunktionenIn einem rechtwinkligen Dreieck heißt die dem rechten Winkel gegenüberliegendeSeite Hypothenuse. Die anderen Seiten heißen Katheten.Betrachte die Einheitskreislinie mit zwei gegebenen Radien. Fällt man ein Lotvon einem Radius auf den anderen, erhält man weitere Strecken und damit ihreLängen. Diese sind eindeutig durch den von den beiden Radien eingeschlossenenWinkel t bestimmt und heißen cos(t) und sin(t).52