Mathematik für Maschinenbauer

1.10 Exponentialfunktion und LogarithmusDie Regel ln(x 1 · x 2 ) = ln(x 1 ) + ln(x 2 ) entspricht dem Potenzgesetz für exp:e ln(x 1·x 2 ) = x 1 · x 2 = e ln(x 1) · e ln(x2) = e ln(x 1)+ln(x 2 ) ,Mit der Eineindeutigkeit der Exponentialfunktion folgt nun:ln(x 1 · x 2 ) = ln(x 1 ) + ln(x 2 )Für den Definitions- und Bildbereich gelten:D(ln) = R + ,B(ln) = RWie sieht die Exponentialfunktion zu einer Basis a > 0 aus und welche Beziehungexistiert evtl. zur “natürlichen” Exponentialfunktion? Was ist a x füra > 0 und x ∈ R? Was ist π π ?Diese Fragen führen zu folgenderDefinition 1.10.5 Sei a > 0.für x ∈ R.a x := exp(x · ln(a)) =Aus den Eigenschaften für ln und exp folgt:(allgemeine Exponentialfunktion).∞∑k=01k! xk (ln(a)) ka 0 = 1a 1 = exp(ln(a)) = aa x a y = a x+y (∀x, y ∈ R)Die Besonderheit der Basis a = e (die sogenannte Natürlichkeit) drückt sich inder Steigung aus. Diese ist in x = 0 gerade 1.Entsprechend gibt es zur allgemeinen Exponentialfunktion eine Umkehrfunktion,nämlich den Logarithmus zu einer Basis a > 0:Definition 1.10.6y = log a (x) :⇔ x = a y(x > 0, y reell)Diese allgemeine Logarithmusfunktion ist eigentlich überflüssig, denn der natürlicheLogarithmus reicht wegen folgender Umrechnungsformel völlig aus:log a (x) = ln(x)ln(a)85