Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische AnalysisWenn das Restglied für n → ∞ gegen 0 geht, d.h. R n (x) −→ 0, dann konvergiertdie Reihe gegen f(x) in einem gewissen Intervall um x 0 :∞∑ f (k) (x 0 )f(x) =(x − x 0 ) k für |x − x 0 | < δ.k!k=0Beispiele hierfür (mit Entwicklungspunkt x 0 = 0) sind:∞∑e x 1=k! xk (δ = ∞)sin(x) =cos(x) =k=0∞∑(−1) k 1(2k + 1)! x2k+1 (δ = ∞)∞∑(−1) k 1(2k) x2k (δ = ∞)k=0k=03∞3 − x = ∑ ( 1) kxk3k=0(δ = 3)Satz 1.17.2 Ist f auf einem Intervall (n + 1)-mal differenzierbar und giltf (n+1) (x) = 0 für alle x ∈ I, so ist f ein Polynom vom Grad ≤ n.Grund: f(x) = T n (x) + R n (x) und R n (x) = 0.Die Taylorentwicklung eines Polynoms p(x) = a n x n +a n−1 x n−1 +. . .+a 1 x+a 0gewinnt man auch aus der binomischen Formel, denn für jedes Monom kannman wie folgt rechnen:x n = ( ) nn∑( n(x − x 0 ) + x 0 = x0 k)n−k (x − x 0 ) k=n∑k=01k!k=0n (n − 1) . . . (n − k + 1)xn−k 0} {{ }=(∗)(x − x 0 ) k mit (∗) = (x n ) (k) ∣∣∣x=x0.Setzt man diese Umformungen an den entsprechenden Stellen von p(x) ein, soerhält man das Taylorpolynom um den gewählten Entwicklungspunkt.Dies sieht man z.B. für f(x) = x 3 um x 0 = 1 aus Beispiel 1.17.2.1.17.3 Anwendung I: Extremwert-TestSatz 1.17.3 (Mehrfache Nullstellen) Sei I = ]a, b[, x 0 ∈ I und f ∈ C n (I).Es gelteDann gilt:f ′ (x 0 ) = f ′′ (x 0 ) = . . . = f (n−1) (x 0 ) = 0 und f (n) (x 0 ) ≠ 0.• x 0 ist lokale Extremstelle genau dann, wenn n gerade ist.• Ist n gerade und f (n) (x 0 ) < 0, dann ist x 0 eine lokale Maximumstelle.• Ist n gerade und f (n) (x 0 ) > 0, dann ist x 0 eine lokale Minimumstelle.(Spezialfall n = 2 : f ′′ (x 0 ) < 0 ⇒ x 0 lokale Maximumstelle, etc.)138