Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische Analysiswird?Randbedingung: U = 2 a + 2 b ⇒ b = U 2 − aZielfunktion: F = a · b als Funktion von a schreiben:( U)F (a) = a ·2 − a = U 2 a − a2F ′ (a) = U 2 − 2aF ′ (a) = 0 ⇔ U = 4 a ⇔ a = bF ′′ (a) = −2 < 0Antwort: Die Seitenlängen sind gleich lang, also ist das Optimum ein Quadrat.xxFbbazu Beispiel 1.13.7 zu Beispiel 1.13.8Beispiel 1.13.8 Das Ausgangsmaterial für eine Fertigung ist ein rechteckigesBlech der Größe 16 m × 6 m (siehe obige Abbildung).Aufgabe: Forme einen quaderförmigen, oben offenen Behälter mit möglichstgroßem Fassungsvermögen.Die Höhe des Behälters ist x, das Volumen V = V (x) berechnet sich durch 8V (x) = (a − 2x)(b − 2x) · x mit a = 16 und b = 6= 4x 3 − 44x 2 + 96xV ′ (x) = 12x 2 − 88x + 96V ′′ (x) = 24x − 88aExtremstelle/Maximum bestimmen:V ′ (x) = 0 ⇔ x 2 − 223 x + 8 = 0⇔ x 1/2 = 113 ± √1219 − 8 = 113 ± 7 38 Die Konstruktion zeigt, dass der Definitionsbereich der Funktion V gerade 0 ≤ x ≤ 3 ist.Bei der Bestimmung der Extremwerte müssen also auch die Extrempunkte x = 0 undx = 3 überprüft werden (biede liefern das Volumen 0.106