Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische Analysis1.8.3 Koordinatenvektoren und -systemeGrundbegriffeFür praktische Berechnungen ist die Benutzung eines rechtwinkligen Koordinatensystemsmit den Koordinaten x, y im R 2 bzw. x, y, z im R 3 zweckmäßig.Man hat Einheitsvektoren ⃗e x , ⃗e y , ⃗e z die aufeinander senkrecht stehen:⃗e x · ⃗e y = 0 = ⃗e x · ⃗e z = ⃗e y · ⃗e z⃗e z⃗e yO⃗e yO⃗e x⃗e xDiese Vektoren spannen die Ebene bzw. den Raum auf, d.h. jeder Vektor lässtsich wie folgt schreiben:⃗a = a x ⃗e x + a y ⃗e y + a z ⃗e zDie Koeffizienten fasst man zu einem Koordinatenvektor – als Spaltenvektorgeschrieben – zusammen⎡a xa = ⎣ a ya z⎤⎦ .Umgang mit KoordinatenvektorenDie Summe bzw. skalare Vielfache ergeben sich komponentenweise: ⃗c = λ⃗a + ⃗ bergibt – mit Koordinatenvektoren geschrieben – folgendes:c = λa + b = λ[axa y]+[ ] [ ]bx λax + b=xb y λa y + b yEntsprechend berechnet man für das Skalarprodukt:⃗a ·⃗b = (a x ⃗e x + a y ⃗e y ) · (b x ⃗e x + b y ⃗e y )= a x b x ⃗e x · ⃗e} {{ x +a} x b y ⃗e x · ⃗e y +a y b x ⃗e y · ⃗e x +a y b y ⃗e y · ⃗e y} {{ } } {{ } } {{ }=1=0=0=1= a x b x + a y b y = a · bMit Hilfe der Koordinatenform des Skalarproduktes kann man nun Winkelberechnen. Ferner beachte man den ähnlichen Formelaufbau von Winkelberechnungund Projektionsberechnung in Koordinatenform:Winkel cos(ϕ) = a · ba · bProjektion p = a · bb · b · b64