Mathematik für Maschinenbauer

1.16 Integration rationaler Funktionendie Teiler des absoluten Gliedes, hier −4, in Frage. Daher probiert man systematisch,ob ±1, ±2 bzw. ±4 Nullstellen von q(x) sind, bis (mindestens) eineNullstelle gefunden wurde:q(1) = 1 3 + 3 · 1 2 − 4 = 0.Es kann also der Linearfaktor (x − 1) vom q(x) durch Polynomdivision abgespaltenwerden:(x 3 + 3x 2 − 4) : (x − 1) =x 2 + 4x + 4−(x 3 − x 2 )+ 4x 2 + 0x−(+ 4x 2 − 4x)+ 4x − 4−(+ 4x − 4)0Daher folgt: q(x) = x 3 + 3x 2 − 4 = (x − 1) (x 2 + 4x + 4) = (x − 1) (x + 2) 2 .Der PBZ-Ansatz mit a 1 = 1 und a 2 = −2 lautet nun:15x 2 + 26x − 5x 3 + 3x 2 − 4 = Ax − 1 +Bx + 2 +C(x + 2) 2⇒ 15x 2 + 26x − 5 = A(x + 2) 2 + B(x − 1)(x + 2) + C(x − 1)Einsetzen von a 1 = 1 ergibt:15 · 1 2 + 26 · 1 − 5 = A (1 + 2) 2 + B · 0 + C · 0 =⇒ A = 36 9 = 4.Mit p 2 = 15, p 1 = 26, p 0 = −5 und a 2 = −2 ergibt sich nach (1.25) alsGleichungssystem für B und C:11 = B10 = B + C−21 = −2B − CAus der ersten und zweiten Gleichung erhält man B = 11 und C = −1. Diedritte Zeile dient zur Probe: −21 = −2 · 11 − (−1). Die PBZ lautet also:15x 2 + 26x − 5x 3 + 3x 2 − 4 = 4x − 1 + 11x + 2 + −1(x + 2) 2 .Von jedem Summanden ist eine Stammfunktion bekannt. Man erhält als unbestimmtesIntegral:∫ 15x 2 ∫+ 26x − 5 15x 2x 3 + 3x 2 − 4 dx = + 26x − 5(x − 1)(x + 2) 2 dx∫ [4=x − 1 + 11x + 2 − 1](x + 2) 2 dx= 4 ln ( |x − 1| ) + 11 ln ( |x + 2| ) + 1x + 2 + c 131