Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische AnalysisBeispiel 1.11.10 Die Regel über die Ableitung der Umkehrfunktion führt u.a.zu folgenden Erkenntnissen:(i) (√ x ) ′ =12 √ x(ii) ( n √ x ) ′ =1n x 1 n −1(iii) ( ln(x) ) ′ =1x oder mit x = f(y) = ey , f ′ = f: ( ln(x) ) ′ =1e y(iv) ( arcsin(x) ) ′ =1 √1−x 2(v) ( arccos(x) ) ′ = −1 √1−x 2(vi) ( arctan(x) ) ′ =11+x 2Weitere wichtige Ableitungen und ihre Herleitung:= 1 x(i) Die allgemeine Potenzfunktion y = x a = e a ln(x) hat die Ableitungy ′ = ( x a) ′ =(ea ln(x) ) ′ = ea ln(x) · (aln(x) ) ′ = xa · a · 1x = a xa−1 .(ii) Die allgemeine Exponentialfunktion y = a x = e x ln(a) hat die Ableitungy ′ = ( a x) ′ =(ex ln(a) ) ′ = ex ln(a) ( x · ln(a) ) ′ = ax · ln(a)(iii) Die allgemeine Logarithmusfunktion y = log a (x) (mit a, x ≥ 0) hat dieAbleitungWegenfolgt schließlichy ′ = ( log a (x) ) (′ ln(x)) ′ 1= =ln(a) ln(a) · 1x .log a (e) = ln(e)ln(a) = 1ln(a)(loga (x) ) ′ log = a (e).xSatz 1.11.8 Als logarithmische Ableitung einer Funktion f bezeichnet man dieFormddx ln ( f(x) ) = f ′ (x)f(x) .Beispiel 1.11.11 Bestimme die Ableitung vonEs giltf(x) = x ex .ddx ln ( f(x) ) = f ′ (x)f(x) oder f ′ (x) = f(x) ddx ln ( f(x) ) .96