Mathematik für Maschinenbauer

1.18 Numerische Integration• Es ergeben sich für jedes n andere Koeffizienten und Stützstellen.Der erste Nachteil lässt sich leicht durch die lineare Transformationt = b − a2 x + a + b2ausräumen, wie in Beispiel 1.18.2. Es istI =∫ baf(t)dt = b − a2und die Quadraturformel erhält damit die GestaltQ = b − a2∫ 1−1n∑w k fk=1f( b − a2 x + a + b )dx,2( b − a2 x k + a + b2(1.37)). (1.38)Der zweite Nachteil wiegt schwerer. Zur rechnerischen Anwendung der GaußschenQuadraturformeln werden die für jedes n unterschiedlichen Stützstellenx k und Gewichte w k als Zahlen in ausreichender Genauigkeit (meist 15 Dezimalstellen)benötigt. Um die Genauigkeit über n steuern zu können, müssenalso sehr viele Zahlen verwaltet oder jeweils neu berechnet werden. Sie sindin einschlägigen Tabellen oder Programmbibliotheken enthalten. Der Aufwandfür die Verwaltung dieser Daten wird geringer, wenn man nur gewisse Werte fürn zulässt oder wenn man eingebettete Regeln benutzt, siehe Abschnitt 1.18.4.Eingebettete Regeln sind außerdem ideal für die adaptive Quadratur.Beispiel 1.18.3 Wir wollen Beispiel 1.18.1 aufgreifen, mit der Gauß-Quadraturzwei Näherungen für das Integral berechnen und dann in einer Tabelle die Integrationsregelnvergleichen, die wir bisher kennengelernt haben. Wir benutzenbei jeder Regel 3 bzw. 5 Funktionsauswertungen. Damit kommen wir zu denErgebnissen in Tab. 1.4:Tabelle 1.4: Vergleich der Integrationsregeln.Anz.Fktsausw. Trapez Simpson Gauß3 0.72473 0.90439 1.0015455 0.925565 0.992511 0.99999986Da der exakte Integralwert 1.0 ist, haben wir auf die Angabe des jeweiligenFehlers verzichtet. Die Überlegenheit der Gauß-Integration ist unübersehbar.1.18.4 Eingebettete Gauß-RegelnFür gewisse Werte von n gelingt es, unter geringem Genauigkeitsverlust eingebetteteDatensätze zu bekommen. Solche Paare von Integrationsregeln werdenauch optimal genannt.145