Mathematik für Maschinenbauer

¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡1 Analysis und numerische AnalysisIm¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢£ £ £ £ £ £ £ £¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢£ £ £ £ £ £ £ £¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢£ £ £ £ £ £ £ £¢¤¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢£ £ £ £ £ £ £ £¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢£ £ £ £ £ £ £ £¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢£ £ £ £ £ £ £ £¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢£ £ £ £ £ £ £ £¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢£ £ £ £ £ £ £ £¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢£ £ £ £ £ £ £ £¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢£ £ £ £ £ £ £ £¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢£ £ £ £ £ £ £ £¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢£ £ £ £ £ £ £ £¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢£ £ £ £ £ £ £ £¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢£ £ £ £ £ £ £ £¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢£ £ £ £ £ £ £ £¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢£ £ £ £ £ £ £ £¢¡ ¡ ¡ ¡ReDrehstreckung um 90 ◦ mit Faktor 2Beispiel 1.20.4 Gegenüber z ist iz um 90 ◦ gedreht.Hier ist w = i = cos ( π2)+ i sin( π2).Quadrieren von z = r ( cos(ϕ) + i sin(ϕ) ) ergibt z 2 = r 2( cos(2ϕ) + i sin(2ϕ) ) .Im Falle höherer Potenzen erhält man die Formel von Moivre:z n = r n( cos(nϕ) + i sin(nϕ) ) .Der Winkel ver-n-facht sich beim Potenzieren. Der Betrag wird in die n-tePotenz erhoben.Beispiel 1.20.5 Zu z = √ 3 + i = 2 ( cos(30 ◦ ) + i sin(30 ◦ ) ) soll z 6 bestimmtwerden:z 6 = 2 6( cos(180 ◦ ) + i sin(180 ◦ ) ) = −2 6 = −64.z 5z 4Imz 3z 6z 2z 1RePotenzen der Zahl z = √ 3 + iNun können wir auch Quadratwurzeln und (allgemeiner) n-te Wurzeln auseiner komplexen Zahl w untersuchen. Nach Definition erfüllen sie die Gleichungenz 2 = w bzw. z n = w.Man möchte schreiben z = √ w bzw. z = n√ w. Es gibt stets genau 2 bzw. nWurzeln aus w, wenn w ≠ 0. Dies ist anders als im Reellen wo es höchstens158