Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische Analysisc) y = sin(x) ist streng monoton steigend im Intervall [ − π 2 , π 2]und strengmonoton fallend im Intervall [ π2 , 3 2 π]7 .Faustregeln zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit1. Stetige Funktionen dürfen keine Sprungstellen haben.2. Differenzierbare Funktionen dürfen keine Knicke haben.3. Zweimal differenzierbare Funktionen nennt man auch glatt, ihre Krümmungdarf sich nur stetig ändern, d.h. die 1. Ableitung darf keine Knickehaben.4. f ′ > 0 ⇒ f ist streng monoton steigend.5. f ′ < 0 ⇒ f ist streng monoton fallend.6. f ′ ≤ 0 ⇒ f ist monoton fallend (evtl. konstant).7. f ′ ≥ 0 ⇒ f ist monoton steigend (evtl. konstant).1.13 Anwendungen der Differenzialrechnung1.13.1 Grenzwertberechnung mit der Regel von de l’HospitalWenn f und g stetig bei x 0 sind und g(x 0 ) ≠ 0 ist, dann giltf(x)limx→x 0 g(x) = f(x 0)g(x 0 ) .Im Fall g(x 0 ) = 0 kann der Grenzwert ±∞ sein, wenn f(x 0 ) ≠ 0 gilt.Im Fall f(x 0 ) = 0 = g(x 0 ) ist der Grenzwert unbestimmt und es hilft oft dieRegel von de l’Hospital (Bernoulli) weiter:Satz 1.13.1 Es seien f, g : R → R differenzierbar für alle x nahe x 0 und essei g ′ (x) ≠ 0 für x nahe x 0 . Ferner gelte g(x 0 ) = 0 = f(x 0 ).Dann gilt:f(x)limx→x 0 g(x) = f ′ (x 0 )g ′ (x 0 )Beweis.f(x)g(x) = f(x) − f(x f(x)−f(x 0 )0)g(x) − g(x 0 ) = x−x 0g(x)−g(x 0 )x−x 0x→x 0f ′ (x 0 )−−−→g ′ (x 0 )Beispiel 1.13.17 dass sich die strenge Monotonie bis auf den Rand des Intervalls zieht muss man separatüberprüfen100