Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische AnalysisDefinition 1.18.1Eine Quadraturformel besitzt den Genauigkeitsgrad m ∈ N ∗ , wenn sie allePolynome vom Höchstgrad m exakt integriert, und m die größtmögliche Zahlmit dieser Eigenschaft ist.Der Genauigkeitsgrad der Trapezregel ist m = 1; sie integriert offensichtlichalle linearen Polynome exakt, aber kein quadratisches. Der Genauigkeitsgradder Simpsonregel ist m = 2; sie integriert alle quadratischen Polynome exakt,aber keine Polynome höherer Ordnung.Praktisch kann man Regeln vergleichen, indem man sie mit der gleichen Anzahlvon Funktionsauswertungen auf ein Integral anwendet.Beispiel 1.18.1I =∫ π/205.0e π − 2Die Ergebnisse für Trapez- und Simpson-Regel sind:exp(2x) cos(x) dx = 1.0. (1.32)Regel h Ĩ Ĩ − I (1.30), (1.31)Trapez π/8 0.926 −0.074 0.12Simpson π/8 0.9925 −0.0075 0.0181.18.2 Adaptive QuadraturIn den Anwendungen und in Softwaresystemen benötigt man Quadraturregel,die ohne Eingriff des Benutzers eine vorgegebene Genauigkeit haben:Gegeben ist eine integrierbare Funktion f : [a, b] → R (Integrand)sowie eine Fehlertoleranz ε > 0.∫bBestimme eine Näherung Ĩ für das bestimmte Integral I = f(x) dx,welche innerhalb der Toleranz ε liegt, d.h. |I − Ĩ| < ε.Adaptive Quadratur bedeutet, dass man die Punkte, an denen f ausgewertetwird, sorgfältig auswählt, die Genauigkeit der Intervallnäherung prüft, unddann evtl. eine Neuberechnung im ganzen Interval oder in bestimmten Teilintervallendurchführt. Das Ziel ist, die gewünschte Genauigkeit mit möglichstwenigen Funktionsauswertungen zu erzielen. Wir erinnern uns an eine fundamentaleEigenschaft des bestimmten Integrals: Falls c ein Punkt zwischen aund b ist, dann gilt∫ baf(x) dx =∫ caf(x) dx +∫ bcf(x) dx.Wenn wir jetzt jedes der beiden Teilintegrale auf der rechten Seite mit einerbestimmten Genauigkeit approximieren können, dann ergibt die Summe dasa142