Mathematik für Maschinenbauer

1.17 Die Taylorformele x81 + x + x22 + x3 61 + x + x2 21 + x1x3. Die Taylorformel zu f(x) = x 3 um den Punkt x 0 = 1 mit n = 3 ergibtsich wie folgt:f(x) = x 3 , f ′ (x) = 3x 2 , f ′′ (x) = 6x, f ′′′ (x) = 6, f (n) (x) = 0 für alle n ≥ 4,f(1) = 1 3 = 1, f ′ (1) = 3 · 1 2 = 3, f ′′ (1) = 6 · 1 = 6, f ′′′ (1) = 6.f(x) = 1 + 3(x − 1) + 6 2! (x − 1)2 + 6 3! (x − 1)3 + 0= 1 + 3(x − 1) + 3(x − 1) 2 + (x − 1) 3= ( 1 + (x − 1) ) 3(nach binomischer Formel).Mittels Taylorentwicklung kann man komplizierte (aber genügend oft differenzierbare)Funktionen durch einfachere Funktionen – nämlich Polynome –approximieren (annähern).Der Approximationsfehler wird durch das Restglied R n angegeben.Hat man eine (möglichst nicht zu grobe) Abschätzung für die (n + 1)-te Ableitung,d.h. kennt man ein M > 0 mit∣ f (n+1) (x) ∣ ∣ ≤ M,so schätzt man mit einer Restgliedformel wie folgt ab:1∣|R n (x)| = ∣(n + 1)! f (n+1) (z)(x − x 0 ) n+1 ∣∣ M ≤(n + 1)! |x − x 0| n+1 .Wenn f(x) beliebig oft differenzierbar ist, kann man die Taylorreihe von fbezüglich eines Entwicklungspunktes x 0 aufstellen:∞∑a k (x − x 0 ) k mit a k = f (k) (x 0 ).k!k=0137