Mathematik für Maschinenbauer

1.9 Stetige FunktionenBeispiel 1.9.3 Beispiele stetiger Funktionen f : R → R (also D(f) = R):(a) f(x) = ax + bDie Stetigkeit folgt aus den Rechengesetzen für konvergente Folgen:x n → x =⇒ f(x n ) = ax n + b → ax + b = f(x) für n → ∞(b) f(x) = ax 2 + bx + c(c) f(x) = cos(x)Mit den Additionstheoremen sowie | sin(x)| ≤ 1 und | sin(x)| ≤ |x| folgt:cos(x n ) − cos(x) = −2 sin ( x n + x) (x n − x)· sin22=⇒ | cos(x n ) − cos(x)| ≤ 2 | sin ( x n − x) | ≤ |xn − x|2Also: |x n − x| → 0⇒ | cos(x n ) − cos(x)| → 0 für n → ∞(d) f(x) = sin(x) (analog zu (c) argumentieren).Dagegen sind Funktionen, die Sprungstellen haben, nicht stetig. Zum Beweismuss man für eine Stelle a ∈ D(f) zwei Folgen angeben können, welche nichtdenselben Grenzwert besitzen.Beispiel 1.9.4 (Zeichnung bei Beispiel 1.3.4){ 1 für x ≥ 0h(x) =0 für x < 0ist nicht stetig. Für die Stelle a = 0 gilt z.B.:lim f( − 1 )= 0 ≠ 1 = limn→∞ nf( 1 ).n→∞ nPräziser analysiert gilt: h ist in jedem Punkt x ∈ R \ {0} stetig und nur imPunkt x = 0 nicht stetig.1.9.3 RechenregelnDie Stetigkeit einer Funktion ersieht man oft daraus, dass sie aus Funktionenzusammengesetzt ist, deren Stetigkeit bereits bekannt ist. Man wendet dabeidie folgenden Rechenregeln an.Sind f, g : R → R Funktionen mit Definitionsbereichen D(f) und D(g), so sindfolgende Verknüpfungen definiert, wenn D(f) ∩ D(g) ≠ ∅ gilt:• f + g : D(f) ∩ D(g) → R mit (f + g)(x) = f(x) + g(x).• f · g : D(f) ∩ D(g) → R mit (f · g)(x) = f(x) · g(x).• f g : ( D(f) ∩ D(g) ) \ {x | g(x) = 0} → R mit ( fg)(x) =f(x)g(x) . 75