Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische AnalysisPSfrag replacementsIR5002 ε−50n ε0 10 20 30 4050INAbbildung 1.7: Prinzip des Konvergenzbegriffesd.h. das Anfangsverhalten einer Folge ist für das Konvergenzverhalten irrelevant.Kurz formuliert: Endliche Anfangsstücke sind irrelevant.Ist eine Folge nicht konvergent, dann heißt sie divergent. Die Divergenz wirdweiter unterteilt in bestimmte und unbestimmte Divergenz.Eine Folge (a n ) heißt bestimmt divergent gegen +∞, wenn zu jedem M ≥ 0ein n ε ∈ N existiert mit: a n > M für alle n > n ε .Entsprechend heißt eine Folge (a n ) bestimmt divergent gegen −∞, wenn zujedem m ≤ 0 ein n ε ∈ N existiert mit: a n < m für alle n > n ε .( )1Beispiel 1.4.2 Wir behaupten: lim √n→∞ n= 0, d.h. √n 1ist eine Nullfolge.Zum Beweis ist gegeben: ε > 0. Wähle irgendein n ε ∈ N mit ε −2 < n ε . (Dies istwegen des Archimedischen Axioms möglich). Dann gilt für alle n ∈ N, n ≥ n ε :∣ 1 √ n− 0 ∣ ∣ = 1 √ n≤ 1 √nε< εBeispiel 1.4.3 Weitere Beispiele konvergenter Folgen:11. limn→∞ n = 0,2. limn→∞ (−1)n 1 n = 0, −1, 1 2 , − 1 3 , 1 4 , − 1 5 , . . .,3. x 1 = 2, x n+1 = xn 2 + 1x nist eine rekursiv definierte Folge mit dem irrationalenGrenzwert lim x n = √ 2,n→∞n4. limn→∞ n+1 = 1.Beispiel 1.4.434