Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische AnalysisDann folgt aber: 2 n 2 = 4 k 2 , also n 2 = 2 k 2 ist gerade. Folglich ist auch ngerade. Dies widerspricht aber unserer Voraussetzung, dass der Bruch (1.10)vollständig gekürzt ist. Damit ist die Annahme, dass √ 2 rational falsch ist.Also ist √ 2 irrational.1.2.3 Vollständige InduktionEin weiteres wichtiges Beweisverfahren ist das der vollständigen Induktion. Esberuht auf Grundeigenschaften der natürlichen Zahlen. Man hat Aussagen A 1 ,A 2 , A 3 , . . . , A n , . . . vorliegen, von denen man zeigen möchte, dass sie wahrsind. Dazu zeigt man:1. Induktionsanfang: A 1 ist wahr.2. Induktionsschritt: Ist (für beliebiges natürliches n) A n wahr, dann istauch A n+1 wahr.(Dominoeffekt). Man beweist in zwei Schritten ∞ viele Aussagen!1 + 2 + 2 2 + 2 3 + · · · + 2 100 ist ein Beispiel für eine geometrische Summe. Bevorwir mittels vollständiger Induktion eine allgemeine Formel beweisen, ermittelnwir durch Probieren eine Idee, wie die Formel aussehen könnte:(A 1 ) 1 + 2 1 = 3 = 4 − 1,(A 2 ) 1 + 2 1 + 2 2 = 7 = 8 − 1,(A 3 ) 1 + 2 1 + 2 2 + 2 3 = 15 = 16 − 1,.. ,(A 7 ) 1 + 2 1 + · · · + 2 7 = 255 = 256 − 1.Man kann daher fragen, ob allgemein gilt:1 + 2 1 + 2 2 + · · · + 2 n = 2 n+1 − 1?Dies ist tatsächlich richtig. Es gilt allgemeiner:Satz 1.2.4 (Satz über geometrische Summen) Es sei g eine reelle Zahlmit g ≠ 1. Für eine natürliche Zahl n gilt:(A n )n∑k=0g k = 1 − gn+11 − g .Beachte: g 0 = 1. Daher ist ∑ nk=0 gk = 1 + g 1 + g 2 + · · · + g n . Für den im Satzausgeschlossenen Fall g = 1 erhält man als Wert der Summe offensichtlichn + 1.Beweis. Wir formulieren für n = 1, 2, . . . folgende Aussage A n :(A n )n∑k=0g k = 1 − gn+11 − gWir beweisen die Richtigkeit aller A 1 , A 2 , . . . mittels vollständiger Induktion:20