Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische AnalysisDamit ist (g n ) eine Nullfolge nach dem Sandwich-Kriterium. Für −1 < g < 0gilt: −|g| n ≤ |g| n . Die Folge (|g| n ) ist wieder Nullfolge nach dem Sandwich-Kriterium.Ist g = 1, dann sind alle Folgenglieder 1, also ist die Folge konvergent mit demGrenzwert 1.Ist g = −1, dann alternieren die Folgenglieder zwischen −1 und +1. Die Folgeist dann divergent.Ist |g| > 1, dann ist g n nicht beschränkt und die Folge daher nicht konvergent.Beispiel 1.4.9 Wieder lassen sich einige Grenzwerte explizit bestimmen:( ) 1 n(a) lim = 0n→∞ 2(b)(−3) nlimn→∞ 4 n = 0(c) Welchen Grenzwert – wenn er existiert – besitzt die Folge a n = 3n+1 + 2 nDurch Umformen erhält man: a n = 3 + ( 231 + ( n→∞)1 n −→ 3 + 01 + 0 = 33Satz 1.4.8 Für c > 0 gilt limn→∞n√ c = 1.) n3 n + 1Beweis. (nur im Fall c ≥ 1):Setze a n = n√ c − 1 ≥ 0Bernoulli-Ungleichung (1 + x) n ≥ 1 + nx, (x ≥ −1) anwenden:c = (1 + a n ) n ≥ 1 + na n ≥ na n⇒ 0 ≤ a n ≤ c nDamit ist (a n ) eine Nullfolge nach dem Sandwich-Kriterium.Beispiel 1.4.10 Weitere Beispiele konvergenter Folgen:(a)n√ 1 + x n = 1 wenn |x| < 1(b)(c)limn→∞limn→∞n√ n = 1xlimnn→∞ n!= 0 für alle x ∈ R.Fall x > 1: Fixiere ein k ∈ N mit k ≥ 2x, d.h. x k ≤ 1 2 .38