Mathematik für Maschinenbauer

1.3 Mengen und FunktionenAnders als in vielen Darstellungen setzen wir mit der obigen Schreibweise nichtvoraus, dass f für jedes x ∈ X definiert ist, sondern nur für die Elemente seinesDefinitionsbereichesD(f) ⊆ X.In vielen Fällen wird jedoch D(f) = X sein.Die Menge aller Werte von f heißt Wertebereich oder Bildbereich:B(f) := {y ∈ Y | ∃x ∈ D(f) mit y = f(x)}Zwei Abbildungen sind genau dann gleich, wenn ihre Funktionsvorschriftenund ihre Definitionsbereiche gleich sind.f = g :⇔ D(f) = D(g) und f(x) = g(x) für alle x ∈ D(f) = D(g)Man veranschaulicht Abbildungen durch Skizzen wieXYD(f)B(f)oder durch Skizzen ihrer GraphenG(f) := { (x, y) ∈ X × Y | x ∈ D(f), y = f(x) } .Im Falle X = Y = R erhalten wir die vertrauten Funktionsgraphen.Beispiel 1.3.4 Wir betrachten verschiedene Funktionen. Die Graphen sehenwir in Abb. 1.3 auf der nächsten Seite.1. f 1 : R → R, x ↦→ x 2 , D(f 1 ) = R,f 2 : R → R, x ↦→ x 2 , D(f 2 ) = [ 0, 1],Wichtig: f 1 ≠ f 2 !2. g : R → R, x ↦→ 1 x, D(g) = R \ {0} = B(g).3. Betragsfunktion abs : R → R, x ↦→ |x|,{ 1 x ≥ 0,4. Sprungfunktion h : R → R, x ↦→0 sonst.5. Monome x ↦→ x n (Potenzfunktion).27