Mathematik für Maschinenbauer

1.13 Anwendungen der DifferenzialrechnungBeispiel 1.13.4 Für welche x-Stellen gilt e x2 − e −x = √ 2?f(x) = e x2 − e −x − √ 2f(0) = − √ 2 < 0 < f(1) = e − 1 e − √ 2 MWS =⇒ Existenz einer NSt.f ′ (x) = 2 x · e x2 + e −xIterationvorschrift:x n+1 = x n − ex2 n − e−x n− √ 22x n e x2 n + e −xn6f(x)42x 0 = 0x0.791 x 2x 1 1.5−2Vergleich von Bisektionsverfahren und Newtonverfahren für diese Funktion anhandder Anzahl von Funktions- bzw. Ableitungsauswertungen, um eine gegebeneGenauigkeit zu erreichen:Genauigkeit ε BisektionsverfahrenNewtonverfahrenmit x 0 = 010 −1 = 0.1 5 1010 −2 = 0.01 8 1210 −3 = 0.001 11 1210 −4 15 1410 −5 18 1410 −10 35 1610 −20 68 1810 −30 101 2010 −40 134 2010 −50 168 2010 −100 334 24103