Mathematik für Maschinenbauer

1.13 Anwendungen der DifferenzialrechnungSatz 1.13.3 Sei f ∈ C 1 (I), I ∈ R ein Intervall. Ist x 0 ∈ I eine lokale Extremstellevon f, dann gilt f ′ (x 0 ) = 0 oder x 0 ist ein Randpunkt von I.Das Intervall I = [a, b] hat dabei die Randpunkte a und b.Begründung: Wäre f ′ (x 0 ) > 0, so wäre f in einer ”Umgebung” von x 0 strengmonoton wachsend, könnte also keine Extremstelle sein. Analog argumentiertman, wenn f ′ (x 0 ) < 0 wäre.Beispiel 1.13.5 f(x) = x auf [0, 1] hat die Randstellen x = 0 und x = 1 alslokale und globale Extremstellen.Aus f ′ (x 0 ) = 0 kann man nicht ohne weiteres schließen, dass x 0 eine Extremstelleist. Kennt man aber das Vorzeichen von f ′′ (x 0 ), dann kann man einepositive Aussage machen.Satz 1.13.4 Sei f ∈ C 2 (I), I = ]a, b[. Ist x 0 ∈ I gegeben mit f ′ (x 0 ) = 0 undf ′′ (x 0 ) < 0, so liegt in x 0 eine lokale Maximumstelle vor. Im Falle f ′ (x 0 ) = 0und f ′′ (x 0 ) > 0 liegt in x 0 eine lokale Minimumstelle vor.Zur Begründung benutzt man die Taylorformel, mit der wir uns in Abschnitt 1.17(im Anschluss an die Integralrechnung) beschäftigen.Beispiel 1.13.61. y = x 2 hat in x = 0 eine Minimumstelle, denn:y ′ (0) = 2 · 0 = 0 und y ′′ (0) = 2 > 0.2. y = cos(x) hat inx 0 = 0 eine Maximumstelle: cos ′ (0) = − sin(0) = 0.cos ′′ (0) = − cos(0) = −1 < 0x 0 = π eine Minimumstelle: cos ′ (π) = − sin(π) = 0,cos ′′ (π) = − cos(π) = 1 > 0.3. Für y = x 3 gilt: y ′ = 0 führt zu x = 0, aber dies ist keine lokale Extremstelle,denn auch y ′′ = 6x verschwindet bei x = 0.Viele Aufgabenstellungen laufen auf die Bestimmung der Extremwerte einerFunktion hinaus. Zwei solcher Extremwertaufgaben folgen.Beispiel 1.13.7 Der Umfang U > 0 eines Rechtecks sei gegeben. Wie sind dieSeitenlängen zu bestimmen, so dass der Flächeninhalt des Rechtecks maximal105